Clase 10 de noviembre de 2014

Tema 3: Números naturales y su tratamiento didáctico.

En un sistema axiomático hay:

• Términos primitivos de la teoría que vamos a construir de naturaleza no especificada y cuya existencia se postula.
• Axiomas, que son proposiciones relativas a los términos primitivos que se tienen por verdaderas.
• Definiciones de términos distintos a los primitivos.
• Teoremas que son propiedades que podemos deducir de forma lógica a partir de las definiciones y los axiomas.

Axiomas de Peano:

Los axiomas de Peano son un conjunto de axiomas aritméticos ideados por el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX, para definir los números naturales. Estos axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de los números.

Los 5 axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

1. El 1 es un número natural. 1 está en N, el conjunto de los números naturales.
2. Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
3. El 1 no es sucesor de algún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto K de n naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.